¿Qué tan pequeño debe ser el ángulo x para que sen x = x?

En física usamos aproximaciones para simplificar la descripción (matemática en la mayoría de los casos) de los fenómenos naturales. Una de las simplificaciones más común es que cuando el ángulo \theta es pequeño, entonces las funciones trigonométricas se pueden reescribir como:

Existen varios ejercicios de cálculo de límites para demostrar esta idea. Sin embargo, ¿qué significa cuantitativamente pequeño? Significa que tanto la función seno como el ángulo se parezcan, es decir, que la función seno dividida entre el ángulo sea igual a 1. Pero aquí te mostramos gráficas para tener una idea que permita tener un criterio aplicable a los trabajos en el laboratorio.

En las imágenes de este post te mostramos las gráficas de . En (a) se gráfica con todo el intervalo de 0 a 360 grados, es claro que la curva no se acerca al valor de 1. En (b) se gráfica de 0 a 45 grados, obtenemos muy buenos valores por encima de 90% para este intervalo. En (c) tenemos un intervalo de 0 a 15 grados, logramos un valores superiores 99% en el cociente de la función entre su argumento; es decir, ángulos menores de 15 grados son lo suficientemente pequeños para aplicar la aproximación 

con por lo menos un 99% de confiabilidad.

Entonces, si en tus experimentos requieres de ángulos pequeños para emplear estas aproximaciones, por debajo de los 15 grados es suficiente. Pues practicar, por ejemplo, midiendo la constante de aceleración en caída libre por medio de un péndulo.

Finalmente, te dejamos el muy sencillo código Matlab de estas gráficas, seguro te gustaría hacer tu versión con las otras dos funciones trigonométricas

¡Felices experimentos!!

Código Matlab:

clc
clear
close all

theta = 0.001:0.01:2*pi;
y = 100*sin(theta)./theta;


subplot(1,3,1)
plot(theta*180/pi, y, 'ok')

subplot(1,3,2)
plot(theta*180/pi, y, 'or')
axis([0 45 90 100])

subplot(1,3,3)
plot(theta*180/pi, y, 'ob')
axis([0 15 98 100])


Enlaces relacionados:


Video: medición de g con péndulo simple.

Experimento casero: el secreto de la invisibilidad es …

Que los rayos de luz mantengan sin desviación ni absorción su trayectoria de la fuente a nuestro detector (ojo, cámara fotográfica, etc.). Efectivamente, podemos comprobar esta idea en varios videos de You-Tube, veamos aquí algunos ejemplos:

Del blog cluster, nos proponen usar agua corriente y bolitas del plástico poliacrilato que han absorbido mucha agua. Así, tango bolitas como el agua tienen índices de refracción similares.

Este experimento casero también se puede usar con aceite de bebe o aceite vegetal (transparente) y vidrio pyrex (con índice de refracción de 1.47), con un resultado igual de asombroso.

Recordemos, los haces de luz se desvían en al agua, por ello parece que una varita se rompe cuando la introducimos en un vaso con agua. Pues la luz viaja más lento dentro del agua que en aire. Es el índice de refracción el parámetro que nos relaciona la comparación de la velocidad de la luz dentro de un medio v (como lo es el agua) y el aire c (que casi es similar a la velocidad de la luz en el vacio). Es decir, el índice de refracción es :

.

También recordemos que en todos nuestros materiales cotidianos v<c (para nada especulo sobre taquiones).  Es la ley de Snell la que nos relaciona el ángulo de desviación incidente y trasmitido en el material (theta_i y  theta_t y respectivamente) con el índice de refracción del medio de donde proviene la luz  y en donde se trasmite ese rayo de luz (n_i y n_t, respectivamente).

.

Entonces, claramente vemos que si n_i = n_t son iguales, los angulos theta_i = theta_t.

Por otro lado, tales materiales deben ser altamente transparentes. De tal forma que el cambio de intensidad de la luz sea imperceptible para nuestros ojos. Una ventana muy limpia parece para muchos animales (también para algunas personas) una zona por donde pueden pasar, hasta que es demasiado tarde y se estrellan :( 

Pues bien, para ello, es que se suele poner un logo o alguna indicación en las puertas de vidrio, para evitar esos malos entendidos, choques y posiblemente algún herido por un vidrio roto. 

Nuestros ojos y cámaras fotográficas pueden captar la desviación de la luz y la absorción de su intensidad; estas dos cantidades en los haces de luz son las que nos permiten principalmente identificar objetos. Cuando son tales cualidades son invariantes, es imposible “ver” un objeto que este intermedio, ese es la base de la invisibilidad.

Actividad. Intenta hacer tu experimento casero de materiales invisibles, ya sea usando vidrio Pyres y aceite vegetal, o bolitas de hidrogel con agua corriente.

Pregunta para pensar:

Ciertamente existen materiales tales que n>1. ¿Pueden existir materiales tales que n<0 ? 

Enlaces relacionados:

La anatomía del hombre invisible. 

La cabina del hombre invisible 

Índices de refracción para hacer modelos en computadora: imagen y lista

P.D. Les dejo otro video que me robo el corazón, pues el expositor es muy bueno: