¿Qué tan pequeño debe ser el ángulo x para que sen x = x?

En física usamos aproximaciones para simplificar la descripción (matemática en la mayoría de los casos) de los fenómenos naturales. Una de las simplificaciones más común es que cuando el ángulo \theta es pequeño, entonces las funciones trigonométricas se pueden reescribir como:

Existen varios ejercicios de cálculo de límites para demostrar esta idea. Sin embargo, ¿qué significa cuantitativamente pequeño? Significa que tanto la función seno como el ángulo se parezcan, es decir, que la función seno dividida entre el ángulo sea igual a 1. Pero aquí te mostramos gráficas para tener una idea que permita tener un criterio aplicable a los trabajos en el laboratorio.

En las imágenes de este post te mostramos las gráficas de . En (a) se gráfica con todo el intervalo de 0 a 360 grados, es claro que la curva no se acerca al valor de 1. En (b) se gráfica de 0 a 45 grados, obtenemos muy buenos valores por encima de 90% para este intervalo. En (c) tenemos un intervalo de 0 a 15 grados, logramos un valores superiores 99% en el cociente de la función entre su argumento; es decir, ángulos menores de 15 grados son lo suficientemente pequeños para aplicar la aproximación 

con por lo menos un 99% de confiabilidad.

Entonces, si en tus experimentos requieres de ángulos pequeños para emplear estas aproximaciones, por debajo de los 15 grados es suficiente. Pues practicar, por ejemplo, midiendo la constante de aceleración en caída libre por medio de un péndulo.

Finalmente, te dejamos el muy sencillo código Matlab de estas gráficas, seguro te gustaría hacer tu versión con las otras dos funciones trigonométricas

¡Felices experimentos!!

Código Matlab:

clc
clear
close all

theta = 0.001:0.01:2*pi;
y = 100*sin(theta)./theta;


subplot(1,3,1)
plot(theta*180/pi, y, 'ok')

subplot(1,3,2)
plot(theta*180/pi, y, 'or')
axis([0 45 90 100])

subplot(1,3,3)
plot(theta*180/pi, y, 'ob')
axis([0 15 98 100])


Enlaces relacionados:


Video: medición de g con péndulo simple.

Experimento casero: el secreto de la invisibilidad es …

Que los rayos de luz mantengan sin desviación ni absorción su trayectoria de la fuente a nuestro detector (ojo, cámara fotográfica, etc.). Efectivamente, podemos comprobar esta idea en varios videos de You-Tube, veamos aquí algunos ejemplos:

Del blog cluster, nos proponen usar agua corriente y bolitas del plástico poliacrilato que han absorbido mucha agua. Así, tango bolitas como el agua tienen índices de refracción similares.

Este experimento casero también se puede usar con aceite de bebe o aceite vegetal (transparente) y vidrio pyrex (con índice de refracción de 1.47), con un resultado igual de asombroso.

Recordemos, los haces de luz se desvían en al agua, por ello parece que una varita se rompe cuando la introducimos en un vaso con agua. Pues la luz viaja más lento dentro del agua que en aire. Es el índice de refracción el parámetro que nos relaciona la comparación de la velocidad de la luz dentro de un medio v (como lo es el agua) y el aire c (que casi es similar a la velocidad de la luz en el vacio). Es decir, el índice de refracción es :

.

También recordemos que en todos nuestros materiales cotidianos v<c (para nada especulo sobre taquiones).  Es la ley de Snell la que nos relaciona el ángulo de desviación incidente y trasmitido en el material (theta_i y  theta_t y respectivamente) con el índice de refracción del medio de donde proviene la luz  y en donde se trasmite ese rayo de luz (n_i y n_t, respectivamente).

.

Entonces, claramente vemos que si n_i = n_t son iguales, los angulos theta_i = theta_t.

Por otro lado, tales materiales deben ser altamente transparentes. De tal forma que el cambio de intensidad de la luz sea imperceptible para nuestros ojos. Una ventana muy limpia parece para muchos animales (también para algunas personas) una zona por donde pueden pasar, hasta que es demasiado tarde y se estrellan :( 

Pues bien, para ello, es que se suele poner un logo o alguna indicación en las puertas de vidrio, para evitar esos malos entendidos, choques y posiblemente algún herido por un vidrio roto. 

Nuestros ojos y cámaras fotográficas pueden captar la desviación de la luz y la absorción de su intensidad; estas dos cantidades en los haces de luz son las que nos permiten principalmente identificar objetos. Cuando son tales cualidades son invariantes, es imposible “ver” un objeto que este intermedio, ese es la base de la invisibilidad.

Actividad. Intenta hacer tu experimento casero de materiales invisibles, ya sea usando vidrio Pyres y aceite vegetal, o bolitas de hidrogel con agua corriente.

Pregunta para pensar:

Ciertamente existen materiales tales que n>1. ¿Pueden existir materiales tales que n<0 ? 

Enlaces relacionados:

La anatomía del hombre invisible. 

La cabina del hombre invisible 

Índices de refracción para hacer modelos en computadora: imagen y lista

P.D. Les dejo otro video que me robo el corazón, pues el expositor es muy bueno:

Ilusión óptica de la “Deformación” de aspas de avión

Estos son dos videos donde se registró el giro rápido de las aspas de aviones. Da la impresión que las aspas están deformes. Calma!!, pues sólo es una ilusión.

Estos videos fueron tomados con cámaras de teléfono celular, las cuales adquieren la imagen por medio de un barrido (scan) de pixel a pixel, formando una linea y luego procesando la siguiente linea.

Entonces, el primer pixel de la imagen es gravado, cuando el aspa esta en una posición. Pero el ultimo pixel es grabado cuando la aspa esta en otra posición. Por ello, la imagen muestras las aspas deformes. De hecho, los videos evidencian la dirección en que se realiza el scan, por ello unas aspas se ven deformes hacia la izquierda y otras hacia la derecha.

Este efecto fue primero reportado con iphones, ahora casi todos los teléfonos usan esta forma de captura de video. Lo que me falta es ver videos de otros objetos en movimiento que se “deformen” además de las aspas de un avión.

¿Tu has visto este efecto con tu teléfono celular?

¡Felices experimentos!

Enlaces relacionados:

Ilusión óptica: la importancia de las fronteras

Presentación de ilusiones ópticas

Ilusión en un simple experimento de física

¿Por qué se ve roja la luna en un eclipse lunar?

¿Cuál es la causa de que la luna se vea roja en un eclipse lunar? Nos ha preguntado amigos en la calle.

Eclipse con luna roja, vía space.com

Primero. Un eclipse lunar sucede cuando se alinea la Luna, la Tierra, y el Sol. La Tierra en medio de los otros dos astros. La luz solar es obstaculizada por la Tierra, de modo que la tierra arroja una sombra por donde atraviesa la luna.

Segundo. La Tierra cuenta con una atmósfera, la cual está compuesta de gases y polvo; estas partículas suspendidas son de suficiente tamaño para esparcir la luz solar. De modo que la atmósfera funciona como un filtro que deja pasar la luz roja y las longitudes de onda hacia al azul son dispersadas en todas direcciones.

El efecto de esparcimiento lo observamos en cada rojo atardecer, la luz del Sol nos llega directamente y es esparcida  por la atmósfera, por ello el astro rey se ve rojizo. De modo similar podemos explicar que el cielo es azul porque la luz es esparcida en todas direcciones, especialmente la azulada.

La contaminación y el polvo arrojado por volcanes pueden hacer más rojizo los atardeceres y los eclipses de Luna. Pues al haber más partículas suspendidas el efecto de dispersión es mayor.

Actividad sugerida.

Puedes comprobar por ti mismo el efecto de dispersión. Consigue un vaso de vidrio transparente y llénalo con agua (unos 350 mililitros). Luego, añádale unas 20 a 40 gotas de leche (1-2 mililitros) y revuelve bien la mezcla. En un cuarto oscuro, mediante una linterna, pídele a un amigo que ilumine al vaso desde arriba. Si observas al vaso de lado, podrán notar que la luz tiene un color azul cielo muy pálido. En cambio, si observas al vaso por debajo percibirán que la luz proveniente de la linterna tiene un color naranja-rojizo. En este experimento las partículas de leche (moléculas de grasas y proteínas) tienen el mismo efecto sobre la luz blanca de la linterna que el que tienen las diferentes moléculas del aire sobre la luz blanca del Sol. Finalmente, si iluminas al vaso por uno de los costados verás luz con un tono rojizo, pero no tan rojizo como en el caso anterior, ya que en este caso la luz atraviesa menos “leche en agua” y por lo tanto no alcanza a esparcir mucho azul. Un experimento en la Tierra para explicar lo que vez en el cielo.

Finalmente un video (en ingles) sobre eclipses y lunas rojas



¡Felices experimentos!

Links relacionados:
1) Pasados y futuros eclipses lunares (sitio de la NASA)
2) Flash: eclipse lunar3) Video: Eclipse lunar del 2008

Créditos:

1) Experimento e imagen del libro: Experimentos simples para comprender una Tierra complicada, un buen libro de experimentos para niños.

Microondas visualizadas dentro de un horno encendido: Video

Los ojos desnudos no pueden detectar las microondas, necesitamos apoyarnos de instrumentos.

Las ondas electromagnéticas pueden hacer que las cargas eléctricas se desplacen, ionizando ciertos gases encapsulados en bulbos, los choques de estos electrones producen recombinaciones electrónicas que producen luz. En una lámpara pequeñita de neón se puede generar luz visible por medio de microondas.

En una placa de acrílico se perforaron agujeros para formar una matriz, en los espacios se colocaron los bulbos pequeños de neón. En el sitio donde la intensidad de la microonda es mayor, el bulbo brilla más. Claro antes de que las lámparas se freirán. Por supuesto, el patrón se vería mejor si el acrílico permaneciera estacionario. Sin embargo, en el video se ve la placa de acrílico sobre el plato rotatorio.

En la segunda parte del video se muestra el efecto de colocar un absolvedor de microondas: agua. Los bulbos absorben pocas microondas; en contraste, el agua absorbe gran cantidad de esta radiación. Cuando se coloca el vaso con agua los bulbos prenden poco, pues las ondas son absorbidas por el agua, por lo cual la intensidad promedio de las microondas dentro del horno disminuye, reduciendo con ello el brillo de los bulbos.

Finalmente, tanto en el blog de realizador como en el video hay ciertos malentendidos.

1) La idea de la absorción del agua saltada es incorrecta. El agua destilada (libre de sales) es un buen absolvedor, pues es una molécula polar y es proclive a oscilar ante campos electromagnéticos. Del mismo modo los iones también pueden oscilar por la acción campos eléctricos oscilatorios.

2) La frase “convertir la microonda en calor” coloquialmente se usa. No obstante, el calor para nada es  una sustancia, el agua es calentada y no contiene calor.

Sin ser quisquilloso, solo más preciso para evitar malinterpretaciones posteriormente :)